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\newcommand{\horrule}[1]{\rule{\linewidth}{#1}} % Create horizontal rule command with 1 argument of height

\title{
\normalfont \normalsize
\textsc{中国科学院大学   计算机与控制学院} \\ [25pt] % Your university, school and/or department name(s)
\horrule{0.5pt} \\[0.4cm] % Thin top horizontal rule
\huge 随机过程第七次作业 \\ % The assignment title
\horrule{2pt} \\[0.5cm] % Thick bottom horizontal rule
}
\author{黎吉国&201618013229046} % Your name
\date{\normalsize Nov 8,2016}

\begin{document}

\maketitle % Print the title

\newpage
\section{possion 分布}
设在$[0,t]$内事件$A$已经发生了$n$次，且$0<s<t$，对于$0<k<n$，求$P\{ X(s)=k|X(t)=n \}$.
\\
\textbf{Possion过程的定义：}
\begin{enumerate}
  \item $X(0)=0;$
  \item $X(t)$是平稳独立增量过程。
  \item $X(t)$满足下列两式
  \[
  \begin{cases}
    P(X(t+h)-X(t)=1)=\lambda h+o(h)\\
    P(X(t+h)-X(t)\ge 2)=o(h)
  \end{cases}
  \]
\end{enumerate}
则称计数过程$\{X(t),t\ge 0\}$为具有参数 $\lambda$的泊松过程。
\\
\textbf{Solution:}\\
利用条件概率以及泊松分布的：\\
\[
\begin{split}
  P\{ X(s)=k|X(t) \} &= \frac{P\{ X(s)=k,X(t)=n \}}{P\{ X(t)=n \}}\\
  &=\frac{P\{ X(s)=t,X(t)-X(s)=n-k \}}{P\{ X(t)=n \}}\\
  &=\frac{e^{-\lamda s}\frac{(\lamda s)^k}{k!}e^{-\lamda(t-s)}\frac{[\lamda(t-s)]^{n-k}}{(n-k)!}}{e^{-\lamda t}\frac{(\lamda t)^n}{n!}}\\
  &=C_n^k (\frac{s}{t})^k (1-\frac{s}{t})^{n-k}
\end{split}
\]
这是一个参数为$n$和$\frac{s}{t}$的二项分布。


\newpage
\section{等待时间的分布}
设在$[0,t]$内事件A已经发生$n$次，求第$k(k<n)$次事件A发生的时间$W_k$的条件概率密度函数。
\\
\textbf{基础知识：}\\
时间$[s,s+t]$内事件计数的概率
\[
P(X(t+s)-X(s)=n)=P(X(t)=n)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}
\]
时间间隔的分布（具有独立性），$T_n$表示第$n-1$次事件到第$n$次事件之间的时间间隔
\[
f_{T_n}(t)=\lambda e^{-\lambda t} \qquad  t\ge 0\\
\]
等待时间的分布，$W_n$表示第$n$次事件发生的时间
\[
f_{W_n}=\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!} \qquad t\ge 0
\]
\textbf{Solution:}\\
直接求概率密度不好求，这里我们使用极限来求。
\\
设$h$是一个充分小的增量：
\[
\begin{split}
  P(s<W_k\le s+h | X(t)=n) &= P(s<W_k\le s+h,X(t)=n)/P(X(t)=n)\\
  &= P(s<W_k\le s+h,X(t)-X(s+h)=n-k)/P(X(t)=n)\\
  &= P(s<W_k\le s+h)P(X(t)-X(s+h)=n-k)e^{\lamda t}(\lamda t)^{-n}n!\\
  f_{W_k | X(t)=n}(s|n) &=\lim_{h\to 0}\frac{P(s<W_k\le s+h | X(t)=n)}{h}\\
  &= f_{W_k}(s)P(X(t)-X(s)=n-k)e^{\lamda t}(\lamda t)^{-n}n!\\
  &= \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\frac{s^{k-1}}{t^k}(1-s/t)^{n-k}
\end{split}
\]
\newpage
\section{Possion过程在实际中的应用}
在时间$t$内向电话总机呼唤$k$次的概率为
\[ p_t(k)=\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}\qquad k=0,1,2,\ldots \]
其中$\lambda >0$为常数，如果任意两相邻的时间间隔内的呼唤次数是相互独立的，求在时间$2t$内呼唤$n$次的概率$p_{2t}(n)$。
\\
\textbf{解：}\\
设在时间$2t$内呼唤$n$次用$A$表示，在第一时间间隔内呼唤用$H_h$表示，有$p(H_h)=p_t(k),k=1,2,\ldots,n$,则第二时间间隔内有$p(A|H_k)=p_t(n-k)$，则有
\[
\begin{split}
  p_{2t}(n)&= \sum_{k=0}^{n}p_t(k)p_t(n-k)\\
  &= \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \frac{\lambda^{n-k}}{(n-k)!}e^{-\lambda} \\
  &= e^{-2\lambda}\lambda^n \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!(n-k)!}\\
  &= e^{-2\lambda}\lambda^n \sum_{k=0}^{n} C_n^k\frac{1}{n!}\\
  &= \frac{\lambda ^n}{n!}e^{-2\lambda}2^n\\
  &= \frac{(2\lambda) ^n}{n!}e^{-2\lambda}
\end{split}
\]

\end{document}
